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Licenciatura
em Física
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Comentários sobre a Bibliografia
Indica-se em seguida a maior ou menor relevância, de cada um dos livros recomendados para os vários capítulos do programa:
Hartle (2003) --É um livro muito recente, escrito a um nível acessível, com grande sentido físico e uma boa introdução dos conceitos matemáticos essenciais para a compreensão da teoria. O livro cobre praticamente todo o programa da disciplina, incluindo a Relatividade Restrita, embora esteja organizado de uma forma diferente. Os primeiros 19 capítulos do livro constituem o que podemos considerar os Fundamentos da RG.
D'Inverno (1992) -- Este livro cobre os principais tópicos do programa (RR, RG e Cosmologia). é um bom elemento de consulta para os Capítulos I, IV, V, VI e VII. Tem uma excelente introducção à RR, usando uma abordagem amplamente ilustrada com diagramas de espaço-tempo. é um dos poucos livros que utiliza o método do radar (conhecido na literatura inglesa por ``k-calculus'') de Herman Bondi para deduzir o grupo de transformações de Lorentz. O tratamento das soluções exactas é bastante claro, nomeadamente a solução exterior de Schwarzschild e as soluções de Robertson-Walker, que são as mais discutidas neste curso. Infelizmente, omite a solução interior de Schwarzschild (para um tratamento simples deste ponto ver Schutz (1985)). Tem três capítulos dedicados ao formalismo tensorial, mas utiliza uma abordagem antiga, claramente inspirada no livro clássico de Synge & Schild. Não há, portanto, neste texto, nenhuma referência ao cálculo exterior, aos métodos independentes de coordenadas. Mesmo assim, é também um elemento de consulta útil para o Capítulo II.
Lightman et al. (1975) -- Trata-se de um livro de problemas que foi incluido pela sua extrema utilidade. Varre toda a matéria do curso, desde a RR à cosmologia, passando pela RG. Utiliza quer o cálculo tensorial tradicional quer os métodos modernos de cálculo exterior; é, portanto, um auxiliar inestimável na preparação dos alunos.
Schutz (1985) -- é um livro que costumo recomendar pela sua extrema clareza e pela apresentação moderna da geometria diferencial utilizada em RG. É também bastante completo, incluindo RR, RG e cosmologia, embora o tratamento desta última parte seja menos desenvolvido do que, por exemplo, em Hugston e Tod. É, aliás, um dos livros mais acessíveis apesar do seu tratamento moderno. Este livro é um elemento de consulta precioso para todo o curso de Relatividade e Cosmologia.
Taylor e Wheeler (2000) -- É um livro extremamente original na forma como introduz a Relatividade Geral. É bastante elementar, na medida em que evita a análise tensorial e a obtenção das equações de campo de Einstein, concentrando-se na análise de algumas das soluções mais importantes, nomeadamente a solução de Schwarzschild, que se aplica ao sistema solar e aos buracos negros esfericamente simétricos, e às soluções de Friedmann que se aplicam aos modelos de Big Bang. Embora não sigam a estrutura deste curso, tem muitos exemplos e problemas relevantes que procuraremos analisar ao longo do curso.
Wald (1984) -- é o
livro mais completo e mais avançado da
lista de livros recomendados. Desenvole a teoria de uma forma matematicamente rigorosa e
inclui alguns temas que estão fora do âmbito do curso de Relatividade e Cosmologia, como
sejam a Estrutura Causal, Singularidades, e Efeitos Quânticos em Campos Gravitacionais
Fortes. Porém, os primeiros seis capítulos do livro, considerados "Os
fundamentos", são uma muito boa introdução à Relatividade e Cosmologia. Por outro
lado, o livro introduz o leitor na Geometria Diferencial necessária à RG numa
perspectiva moderna, independente de coordenadas e, portanto, também nesse aspecto
poderá ser de grande utilidade para os alunos.
A propósito dos fundamentos matemáticos da teoria, devo referir um outro livro
de Bernard Schutz (Geometrical Methods of Mathematical Physics, C.U.P. 1980).
Este livro merece ser destacado pois é, a todos os títulos, uma magnífica introducção
à geometria diferencial. Particularmente adequado a estudantes de física---que não
tiveram a oportunidade de aprender estas questões nas disciplinas de análise---quer pelo
estilo utilizado quer pelos numerosos exemplos de aplicação a várias áreas da física
como sejam a mecânica analítica (variedades simpléticas), a termodinâmica, o
electromagnetismo, a relatividade geral e a cosmologia. Nessas aplicações ressaltam os
poderosos métodos do cálculo exterior, que são hoje muito importantes na formulação
geométrica das teorias unificadas (particularmente em Supergravidade) ou em áreas como
os Sistemas Dinâmicos. São precisamente essas questões da física teórica actual que
justificam a tendência, revelada nos modernos cursos de matemática para físicos, para
incluir temas de geometria diferencial como são a teoria das variedades diferenciáveis e
o cálculo exterior.
A quem se destina esta disciplina?
O presente programa de "Relatividade e Cosmologia'' foi elaborado para uma disciplina do 2º semestre do 4º ano da licenciatura em Física, que funciona no Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
A "Relatividade e Cosmologia" é uma disciplina de opção, regularmente frequentada por uma elevada percentagem dos alunos do 4º ano. Alguns desses alunos prosseguem estudos de pós-graduação nas áreas da Relatividade e Cosmologia, Astrofísica ou Física de Partículas e Teoria do Campo. Como disciplinas de pós-graduação poderão então encontrar a disciplina de "Cosmologia", do Mestrado em Astrofísica, ou a disciplina de "Tópicos Avançados de Gravitação", do Mestrado em Física (Altas Energias e Gravitação). Estas disciplinas podem considerar-se duas diferentes sequências da "Relatividade e Cosmologia". Assim, procura-se que haja uma articulação entre a disciplina da Licenciatura e as dos Mestrados, de modo a fornecer aos alunos uma formação adequada aos novos desenvolvimentos da Física Teórica e uma informação actualizada nos domínios da Cosmologia Moderna ou da Gravitação e suas relações com outras interacções.
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Passados mais de oitenta e cinco anos após o aparecimento da
Teoria da Gravitação de Einstein, a Relatividade Geral, verifica-se o inevitável: a
teoria é cada vez mais ensinada ao nível das licenciaturas dos cursos de física e de
matemática. Apesar de ter sido durante muito tempo considerada uma teoria difícil e um
pouco exotérica (sem aplicação aos restantes domínios da física e com muito poucos
testes experimentais) vai-se tornando cada vez mais popular, ganhando um lugar seguro
entre os curricula dos cursos de física e de matemática. A teoria pode hoje
considerar-se acessível e um objecto de estudo sério e valioso para os estudantes de
física e matemática, mesmo para aqueles que não pensam continuar estudos de
pós-graduação e seguir uma carreira de investigação nos domínios da Gravitação.
A Física Gravitacional é hoje unânimemente reconhecida como uma ciência com
duas fronteiras. Nas grandes escalas da
Astrofísica e Cosmologia é fundamental para a compreensão de alguns dos mais
exóticos fenómenos do universo---buracos negros, pulsares, quasares, estado
terminal das estrelas, e propagação das deformações da geometria do espaço-tempo
a que chamamos ondas gravitacionais. Nas pequenas escalas está preocupada com a
quantização da própria geometria do espaço-tempo, com a unificação de todas as
forças, e com o estado quântico inicial do universo. O facto de ser uma ciência
com duas fronteiras mostra que a física gravitacional é necessariamente uma
ciência interdisciplinar fazendo a sobreposição da Astrofísica e da Cosmologia
nas grandes escalas e das partículas elementares e da Física Quântica nas
pequenas escalas.
Quanto ao carácter esotérico e marginal que era atribuido à RG no passado, pela
sua reduzida aplicabilidade aos fenómenos do dia a dia, recordo a surpreendente
aplicação da RG ao Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning
System) conhecido pelas iniciais em língua inglesa: GPS. Trata-se de um
empreendimento construido com um orçamento de cerca de 10 biliões de dólares
americanos, inicialmente destinado fundamentalmente à navegação militar, mas que
hoje está transformado numa indústria com interesses comerciais avaliados em
muitos biliões de dólares. O GPS inclui 24 satélites, em órbitas circulares em
torno da Terra com um período orbital de 12 horas, distribuidos em seis planos
orbitais fazendo entre si ângulos iguais. Cada satélite transporta um relógio
atómico muito preciso. Com um pequeno receptor GPS que detecta emissões de rádio
de qualquer um dos satélites que no momento se encontrar por cima da sua cabeça,
um utilizador anónimo
poderá determinar a latitude, longitude e altitude com uma precisão que
actualmente anda nos 15 metros, e o tempo local com uma precisão de 5 x 10-8
s. Para além das óbvias aplicações militares, o GPS encontra hoje
aplicações nas
navegações aérea, marítima ou terrestre, tanto das grande empresas comerciais
como dos particulares.
Como os satélites se deslocam em órbitas com grandes velocidades e a
considerável distância da Terra, os seus relógios andam a um ritmo diferente dos
relógios da Terra. A gravidade (RG) e a velocidade (Relatividade Restrita)
contribuem com valores semelhantes para o desfasamento total entre os relógios
da Terra e os dos satélites. O desfasamento resultante é tão grande que se não
fossem feitas correcções isso provocaria erros de navegação que se iriam
acumulando a um ritmo de mais de 10 km por dia. Assim, torna-se indispensável
utilizar a relatividade para proceder a ajustamentos electrónicos nos relógios
dos satélites e a correcções matemáticas nos computadores que fazem o cálculo da
localização do utilizador. Os dados que aqui apresentámos foram obtidos no
relatório sobre "Gravitational Physics: Exploring the Structure of Space and
Time," elaborado pelo Committee on Gravitational Physics do National Research
Council dos Estados Unidos, e publicado em 1999.
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Física Gravitacional na última década
É extremamente elucidativo apresentar a lista das realizações desta área de investigação durante a última década, enumeradas no referido relatório, para ilustrar como a "expansão de oportunidades tanto na experiência como na teoria transformou a física gravitacional numa das áreas da ciência de hoje que é alvo de maior mudança." Algumas das realizações mais importantes são:
Física Gravitacional na próxima década
Entre as oportunidades que a Comissão da Física Gravitacional (CPG) americana acredita poderem ser realizadas durante a próxima década, se os financiamentos adequados forem efectivamente disponibilizados, constam as seguintes:
Se estas oportunidades forem realizadas, o CPG
espera que a investigação em física gravitacional na próxima década seja
caracterizada por (1) uma mais estreita integração da física gravitacional com a
astrofísica, cosmologia e física de partículas, (2) experiências de maior vulto
produzindo muitos mais dados e exigindo colaboração internacional, (3) uma mais
estreita relação entre teoria e experiência, e (4) um papel mais alargado e mais
importante da computação na física gravitacional.
Objectivos prioritários da Física Gravitacional
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Como consequência destas oportunidades, os objectivos prioritários da física
gravitacional são os seguintes:
Recordo aqui afirmações feitas na introdução desta disciplina em anos anteriores:
"Paralelamente aos esforços de unificação, têm surgido ideias e modelos
que lançam pontes entre disciplinas até há bem pouco tempo desligadas,
cada uma delas desconhecida para os praticantes da outra, excepto para
alguns espíritos iluminados, e que agora se encontram fortemente
interligadas. Nenhum estudante de cosmologia ou física de partículas pode
ser totalmente ignorante do outro campo. Uma dessas pontes é uma ideia
originária das teorias de invariância de padrão que pode muito bem
ser importante para o entendimento das estruturas de larga escala do
Universo. Trata-se da noção de defeito topológico. Existem várias
espécies de defeitos, incluindo paredes, vórtices, monopolos, texturas,
cordas cósmicas e combinações tais como paredes limitadas por cordas e
cordas terminadas em monopolos. Entre os mais interessantes podemos
colocar as cordas cósmicas que poderão estar na origem da formação das
galáxias e dos enxames de galáxias. Este é pois um
conceito relevante para Astrofísicos, Cosmólogos e Físicos de Partículas.
As teorias unificadas têm outras
características que as tornam extremamente atraentes para os relativistas
e cosmólogos. Por um lado, os seus efeitos ter-se-iam manifestado somente
durante os primeiros 10-12 s após o Big Bang, quando a energia
média das partículas presentes era tão elevada que não se distinguiam as
diferenças entre os vários campos. A diferenciação das interacções é
assim uma consequência da expansão do Universo e do seu correspondente
arrefecimento. Por outro lado, essas teorias prevêm novas partículas
ainda não observadas. Estas partículas devem ter massas muito elevadas ou
interagir muito fracamente com a matéria normal (quarks e leptões); caso
contrário já teriam sido detectadas nos actuais aceleradores de
partículas. Se forem estáveis, essas partículas hipotéticas são excelentes
candidatos para o conteúdo invisível em matéria escura do Universo:
acredita-se hoje que a matéria visível representa menos de 10% do conteúdo
material do Universo.
O quadro aqui sumariamente descrito pretende acentuar a necessidade de
ultrapassar as fronteiras habituais entre disciplinas, até há bem pouco
tempo independentes, recorrendo a modernas técnicas de geometria
diferencial que facilitam a
compreensão de alguns conceitos novos, capazes de estabelecer as pontes
desejadas entre essas disciplinas. Um conhecimento de RG facilita essa
tarefa pois fornece uma estrutura matemática onde facilmente se integram
os novos conceitos geométricos."
A concluir este ponto, volto a acentuar que o conteúdo de uma disciplina
de Relatividade e Cosmologia é, nos tempos que correm, um conhecimento
essencial não só para um futuro Relativista, mas também para qualquer
futuro Astrónomo, Físico de Altas Energias ou Físico Teórico, como ficou
amplamente demonstrado acima.
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Pelo que ficou dito atrás se conclui que a RG é uma pedra angular da Física Contemporânea e da Astronomia e, portanto, essencial na formação de qualquer estudante universitário de física. O objectivo desta disciplina é tornar esta teoria fundamental acessível a todos os estudantes da Licenciatura em Física, através de um ensino "inspirado na física", ao mesmo tempo que são introduzidos alguns conceitos de matemática moderna (geometria diferencial), e são feitas aplicações a alguns temas fundamentais como os Buracos Negros e a Cosmologia.
Tratando-se de uma disciplina do 4º ano da licenciatura em Física,
espera-se que os alunos que a frequentam tenham um conhecimento
correspondente a:
Numa situação ideal, seria também
desejável que os alunos possuissem conhecimentos elementares de Teoria
de Grupos e de
Geometria Diferencial. Em particular, alguma desenvoltura na manipulação
de tensores adquirida, por exemplo, no estudo da
Mecânica dos Fluidos, permitiria dispor de mais tempo para tratar com
pormenor algumas das soluções exactas das equações de Einstein e temas
recentes como ondas gravitacionais, buracos negros e cosmologia do
Universo primitivo, que tanto despertam a curiosidade dos alunos. Porém,
verifica-se que os alunos que frequentam esta disciplina nunca tiveram
qualquer contacto com o Cálculo Tensorial e, por isso, o programa da
Relatividade e Cosmologia tem de começar por suprir essa deficiência.
Assim, antes de estudar as questões físicas associadas ao campo
gravítico, tratado segundo a teoria da relatividade geral de Einstein,
torna-se indispensável fazer uma introdução à teoria das variedades
diferenciáveis, com especial relevo para as variedades Riemannianas e
pseudo-Riemannianas.
Métodos de ensino e de avaliação
O programa da disciplina baseia-se numa escolaridade de 15 semanas com
2h de aulas teóricas e uma aula teórico-prática (1h30m) por
semana.
Embora sejam recomendados alguns livros, e sugeridos outros, o
programa da disciplina é no essencial apresentado nas "Notas de
Relatividade e Cosmologia" que estão disponíveis na Página Web da
Disciplina, embora incompletas, e sujeitas a modificações ao longo do
curso. Estas "Notas", que constituem o embrião de um livro a
publicar oportunamente, têm beneficiado das críticas de várias gerações
de alunos. Espero que neste semestre as "Notas" possam finalmente
adquirir a forma adequada à sua publicação.
Os alunos são encorajados a fazer os problemas sugeridos no final de
cada um dos capítulos das "Notas". Uma lista mais restrita será
fornecida todas as semanas. Para além das aulas, os alunos poderão
discutir com o professor as dificuldades e as dúvidas surgidas na
resolução dos problemas ou na preparação da matéria teórica.
A avaliação será feita através da
realização de 2 testes, que no conjunto cobrem toda a matéria, com
questões semelhantes às propostas na lista de problemas facultada aos
alunos, e de um trabalho final sobre um artigo de uma lista fornecida. Este sistema de avaliação não é
obrigatório; os alunos poderão apresentar-se a exame final sem terem
participado nos testes. Mas os testes são fortemente recomendados, como
forma de propiciar uma avaliação contínua ao longo do semestre, em
combinação com o trabalho. Os testes e os problemas contribuem de facto
para a uma melhor participação dos alunos nas aulas durante o
semestre, e para um melhor resultado no exame final. Os testes, têm um
peso de 50% e o trabalho vale os restantes 50%.
Para os alunos que não participarem nos testes, ou não tiverem avaliação
positiva, o exame final que incidirá sobre toda a
matéria, será o único elemento de avaliação. Os alunos com nota de exame
≥ 8 poderão
solicitar um exame oral.
Discussão do Conteúdo do Curso
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O estudo da RG a um nível de licenciatura põe alguns
problemas especiais. Antes de mais, o conteúdo do curso deve ser razoavelmente
circunscrito. A um nível de mestrado ou de investigação pode ser necessário ou mesmo
desejável que o curso tenda assimptoticamente para as fronteiras da teoria, para as
questões mais difíceis e obscuras, atingindo mesmo aqueles temas onde a aplicação da
teoria começa a ser discutível.
Num curso da licenciatura isso não é possível, o que
significa que é necessário omitir algum material. É claro, a dificuldade está em
conseguir um programa equilibrado--um tanto de material físico e matemático respeitável
e o restante de estímulo--cuja receita dificilmente se pode prescrever e só a prática
dirá se funciona.
Tendo em conta os objectivos já referidos e a razão de ser
desta disciplina, delineámos um programa cujo conteúdo tem uma dupla ambição:
iniciar os alunos na Teoria da Relatividade Geral de Einstein e suas aplicações à
Astrofísica e à Cosmologia, e facultar-lhes uma certa capacidade de manipulação dos
novos métodos de geometria diferencial independentes de coordenadas. No que se refere a
este último aspecto, salientamos o facto da maioria dos resultados serem apresentados sem
demonstração e seguidos de aplicações à física.
Tendo isto em vista, o programa foi estruturado do seguinte modo:
Como contacar o docente:
Paulo Crawford (Ext; 28337), Sala 8.3.37Email: crawford@cosmo.fis.fc.ul.pt
